Implementasi Konsep Bilangan Kompleks dalam Matematika sebagai Pemecah Suatu Masalah

Jumat, 15 November 2013

BAB I

PENDAHULUAN

Salah satu fitrah manusia adalah ingin memperoleh kebahagiaan hidup. Menurut kamus besar bahasa indonesia, bahagia didefinisikan sebagai suatu keadaan atau perasaan senang dan tenteram (bebas dari segala yang menyusahkan). Banyak parameter yang dijadikan sebagai sebuah ukuran kebahagiaan. Salah satu diantaranya yang sering orang alami untuk bisa dikatakan bahagia adalah terbebasnya seseorang dari suatu masalah yang menimpanya. Banyak diantara kita yang masih berpendapat bahwa sebuah permasalahan akan menghijab kita dengan kebahagiaan hidup. Contoh sederhana, sebagai seorang mahasiswa, Ali bercita-cita ingin memperoleh indeks prestasi cumlaude. Tetapi pada perjalanan kuliahnya, dia sering mengalami kesulitan dalam mengatur waktu untuk belajar, berorganisasi, dan aktivitas yang lain. Sehingga hal itu berpengaruh pada pencapaian indeks prestasi yang kurang bagus. Di dalam kasus ini, indeks prestasi cumlaude merupakan parameter kebahagiaan yang diinginkan Ali, sedangkan yang menghijab dirinya dengan indeks prestasi cumlaude adalah kesulitan yang dia alami dalam mengatur waktunya. Maka pertama kali yang harus Ali lakukan agar mencapai indeks prestasi cumlaude, ia harus pintar mengatur waktu, dalam istilah yang lain ia harus menghilangkan kesulitan yang dialaminya karena kesulitan itu merupakan sebuah masalah.

Setiap orang tidak lepas dari masalah. Seperti pada kasus Ali di atas, masalah dapat didefinisikan sebagai sesuatu yang harus diselesaikan (dipecahkan). Ya, harus diselesaikan! Tidak ada pilihan kecuali harus diselesaikan. Masing-masing orang punya cara untuk menyelesaikan masalah yang menimpanya. Sebagai seorang saintist, melalui tulisan ini kami akan berbagi cara menyelesaikan sebuah permasalahan jika ditinjau dari sudut pandang matematika. Dalam istilah awam, matematika didefinisikan sebagai imu yang mempelajari bilangan. Ada berbagai macam bilangan dalam matematika, yaitu bilangan real, bilangan desimal, bilangan cacah, bilangan asli, bilangan genap, bilangan ganjil, bilangan bulat, bilangan kompleks dan sebagainya. Dalam pembahasan ini, kami akan menggunakan konsep yang disebut bilangan kompleks untuk mencari sebuah solusi dalam memecahkan sebuah masalah. Kami memilih konsep bilangan kompleks karena istilah kompleks identik dengan rumit. Sedangkan istilah rumit sendiri erat kaitannya dengan istilah permasalahan.

Sebagai seorang muslim, tentu saja kami hanya sekedar berbagi tips saja dalam mencari solusi sebuah permasalahan. Sedangkan yang berhak menghilangkan masalah yang dialami seseorang hanyalah Allah SWT. Maka sebagai seorang muslim, kita harus senantiasa mendekatkan diri kepada Allah.

“Dan andaikata tidak ada karunia Allah dan rahmat-Nya atas dirimu dan (andaikata) Allah bukan Penerima Taubat lagi Maha Bijaksana, (niscaya kamu akan mengalami kesulitan-kesulitan)” (QS An Nuur :10)

BAB II

ISI

Bilangan kompleks

Matematika adalah ilmu yang berurusan dengan bilangan, seperti telah disebutkan pada bab pendahuluan. Banyak jenis bilangan dalam matematika, diantaranya adalah bilangan real, bilangan desimal, bilangan cacah, bilangan asli, bilangan genap, bilangan ganjil, bilangan bulat, dan sebagainya. Tetapi yang menarik adalah ada satu istilah yang disebut bilangan kompleks. Istilah kompleks sering disebut juga dengan rumit. Berarti, bilangan kompleks adalah bilangan yang ruwet, susah, sulit, pelik, sukar, dan tidak mudah untuk dipecahkan ( Kamus Besar Bahasa Indonesia ). Tetapi justru dengan konsep bilangan kompleks inilah penulis akan berbagi cara mencari sebuah solusi suatu permasalahan yang juga rumit.

Langkah Pertama

Di dalam kehidupan sehari-hari kita pasti akan menemukan masalah. Masalah yang ditemukan pun kadang tidak hanya satu, tetapi beragam. Sebut saja masalah yang dialami adalah masalah a, masalah b, dan masalah c. Dapat dirumuskan :

a + b + c

Agar bisa disimpulkan bahwa permasalahan kita itu selesai, jumlah masalah kita haruslah sama dengan nol. Untuk itu perlu adanya sebuah solusi yang dilambangkan sebagai z untuk memecahkan masalah kita. Solusi hadir di tengah-tengah masalah a, b, dan c. Akibat dari beragamnya masalah seseorang, maka solusi yang dipakai pun beragam besarnya. Secara umum masalah dibagi menjadi tiga jenis, yaitu masalah besar, sedang, dan kecil. Untuk masalah yang besar (misal masalah a), solusi juga harus besar. Maka z dikuadratkan. Untuk masalah yang sedang (masalah b), z cukup berpangkat satu orde. Sedangkan untuk masalah kecil, z berpangkat nol sehingga hasilnya satu. Maka diperoleh rumus :

az²+bz+c=0

Langkah Kedua

Setelah kita mengetahui rumus untuk menyelesaikan masalah yang kita alami, kita perlu memilih solusi yang tepat untuk menyelesaikan permasalahan kita. Solusi yang kita pilih merupakan akumulasi dari solusi setiap permasalahan yang ada. Dirumuskan :

Solusi yang kita pilih memuat akar masalah yang dirumuskan b²-4ac. Karena masalah merupakan sesuatu yang tidak diinginkan, maka kami beri simbol (-) / negatif. Akar dari bilangan negatif akan memuat sebuah suku yang disebut bilangan imajiner.

Maka persamaan solusi masalah nya menjadi

Langkah Ketiga

Jika kita menghitung nilai

, maka akan diperoleh bilangan real. Sedangkan pada perhitungan i / 2a akan menghasilkan bilangan imajiner seperti yang telah dibahas pada langkah kedua. Sehingga, Penyelesaian persamaan solusi akan menghasilkan sebuah persamaan baru yang di dalamnya memuat unsur real yang dilambangkan x dan unsur imajiner yang dilambangkan y. Dituliskan sebagai berikut

Berdasarkan persamaan di atas, unsur real atau x menunjukkan bahwa untuk menyelesaikan sebuah masalah, harus dilakukan dengan kerja-kerja nyata atau usaha yang real. Sedangkan pada unsur iy, bermakna kita perlu menggunakan daya pikir tingkat tinggi (imajinasi) dalam mengiringi usaha real kita. Di dalam konteks ini, berimajinasi tidak didefinisikan berangan-angan kosong atau berkhayal, tetapi berimajinasi adalah berpikir keras tentang sesuatu yang besar, yang jauh dari apa yang orang lain pikirkan, yang kemudian hasil pemikiran kita itu mampu membantu menyelasikan sebuah permasalahan besar karena sebuah permasalahan yang besar tidaklah mampu diselesaikan hanya dengan pemikiran yang kecil.

Langkah Keempat

Daya pikir (imajinasi) tidak akan berarti jika hanya berwujud pemikiran-pemikiran saja. Maka setelah kita menggunakan daya pikir tingkat tinggi (imajinasi), hasil pemikiran itulah yang kemudian harus dituangkan dalam bentuk usaha nyata. Artinya unsur iy pada persamaan solusi diubah menjadi unsur nyata. Bentuk persamaan solusi

mempunyai dua bentuk solusi, yaitu z₁ = x + iy dan z₂ = x – iy. Agar diperoleh unsur y yang nyata, makan z₁ dikalikan dengan z₂.

z₁ . z₂ = ( x + iy ) ( x – iy )

z₁ . z₂ = x² – xiy + xiy + y²

z₁ . z₂ = x² + y²

Berdasarkan persamaan solusi akhir di atas, dapat diketahui bahwa semua unsur pada solusi pemecah masalah nya bernilai real atau nyata. Hal ini menunjukkan bahwa solusi akhir untuk menyelesaikan permasalahan kita berwujud usaha / kerja nyata yang melibatkan kontribusi pikiran, raga, dan hati kita. Bentuk kuadrat menunjukkan bahwa untuk melakukan kerja-kerja nyata itu harus diiringi ikhtiar yang sungguh-sungguh dan semangat yang berlipat. Berlipat bukan dalam pengertian dua kalinya, tetapi berlipat dalam orde pangkat. Itulah solusi akhir dalam memecahkan masalah. Kembali pada persamaan az²+bz+c=0, bahwa solusi z itu hadirnya bersamaan dengan hadirnya masalah a, b, dan c itu sendiri. Setelah kita memecahkan satu masalah, berikutnya selesaikan masalah yang lain.

BAB III

KESIMPULAN

Setiap insan pasti akan mengalami cobaan, masalah, kesulitan hidup, ujian atau apapun namanya. Seperti yang telah Allah tetapkan di dalam Alquran. “Apakah manusia itu mengira bahwa mereka dibiarkan (saja) mengatakan: "Kami telah beriman", sedang mereka tidak diuji lagi? Dan sesungguhnya Kami telah menguji orang-orang yang sebelum mereka, maka sesungguhnya Allah mengetahui orang-orang yang benar dan sesungguhnya Dia mengetahui orang-orang yang dusta” ( QS Al Ankabut :2-3 ). Meskipun menghilangkan ujian yang menimpa seseorang itu hanyalah hak Allah, manusia harus tetap berusaha untuk menyelesaikan ujian yang menimpanya. Karena Allah berfirman : “Yang demikian itu adalah karena sesungguhnya Allah sekali-kali tidak akan merubah sesuatu nikmat yang telah dianugerahkan-Nya kepada sesuatu kaum, hingga kaum itu merubah apa yang ada pada diri mereka sendiri, dan sesungguhnya Allah Maha Mendengar lagi Maha Mengetahui,” ( QS Al Anfaal :53 )

Pada akhir pembahasan kami tuliskan bahwa pada persamaan az²+bz+c=0, solusi z itu hadirnya bersamaan dengan hadirnya masalah a, b, dan c itu sendiri. Setelah satu masalah terselesaikan, berikutnya menyelesaikan masalah yang lain. Marilah kita renungkan firman Allah berikut.

“Karena sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan. sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan. Maka apabila kamu telah selesai (dari sesuatu urusan), kerjakanlah dengan sungguh-sungguh (urusan) yang lain, dan hanya kepada Tuhanmulah hendaknya kamu berharap.” ( QS Al Insyirah )

DAFTAR PUSTAKA

Alquranul Karim

Boas, Mary L. 2006. Mathematical Methods in the Physical Science (Third Edition). USA : John Wiley and Sons Inc

Buku Catatan kuliah MATFIS II Tito

Dewi, Ani R dan Tito W P. 2012. Si Rumit Pemecah Masalah (Artikel Matematika 2012)

Ruwanto, Bambang. 2002. Matematika Untuk Fisika dan Teknik I. Yogyakarta : Adicita Karya Nusa

BIODATA

Nama lengkap : Tito Wahyu Purnomo

NIM : 10306141018

Jurusan/prodi/fakultas : Pend.fisika/fisika’10/FMIPA

Tempat,tanggal lahir : Sleman, 11 Juni 1992

Alamat asal : Rewulu Wetan, Sidokarto, Godean, Sleman 55564

Alamat tinggal : Kompleks Masjid Al Muttaqin, Karangmalang

Hobi : Belajar

Tokoh idola : Nabi Muhammad Saw

Motto Hidup : La Tahzan

Riwayat Pendidikan :

No	Nama Instansi	Tahun lulus	Alamat
1	SD N Semarangan V	2004	Godean
2	SMP N 1 Godean	2007	Godean
3	SMK N 2 Yogyakarta	2010	Yogyakarta
4	UNY fisika	2014	Sleman

Riwayat Organisasi :

No	Nama Organisasi	Periode	Jabatan
1	KPU FMIPA UNY	2010	Staf Verifikasi
2	HASKA JMF	2011	Staf Binkad
3	HASKA JMF	2012	Koor Tim Kreativitas
4	Tutorial PAI FMIPA UNY	2012	Staf P3T
5	Tutorial PAI UNY	2012	Tutor P2BQ

Yogyakarta, 26 November 2012

Tito Wahyu P